§3.1
中值定理
一、罗尔定理
若
在闭区间
上连续，开区间
内可导，且
，则至少存在一点
，使
。
在证明罗尔定理之前，我们先来描述一下它的几何意义。
为了使同学们更直观地看到这一点，我们在计算机上做一个动画实验：
【定理证明】
在
上连续，据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，在上取得最大值
和最小值
， 这样只有两种可能情形：
(1)、
。 这时 
， 有 
。
(2)、
因
， 所以 和 中至少有一个不等于 
，
不妨设 
， 
，使 
下面证在点
处的导数等于零，即 。
因
存在，故极限
存在，故其左、右极限均存在且都等于。
因 
，当 
时，有
从而 
当 
时，有
从而 
故
罗尔定理的三个条件缺一不可，否则结论不真。试看下例：
二、拉格朗日中值定理
去掉罗尔定理中相当特殊的条件 ，仍保留其余两个条件，可得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理。
【拉格朗日中值定理】 若在闭区间上连续，在开区间
内可导，则至少存在一点
，使得
(1)
在证明之前，我们先看一下定理的几何意义。
是弦
的斜率，为曲线在点
处的切线斜率。在曲线
上至少有一点，使曲线在点处的切线平行于弦。
由于拉氏中值定理与罗尔定理十分相似，我们设法构造一个满足罗尔定理三个条件的辅助函数
，利用它完成拉氏中值定理的证明。很自然地，取弧AB与弦AB所代表的函数之差就行了。
【证明】作辅助函数
在
上连续，在
可导，且
，由罗尔定理，至少存在一点 
，使 
，即
亦即 。
把拉氏中值定理的证明思想移植到具体函数
上，我们编写了一个matlab程序gs0302.m,可较直观地验证上述证明思想的正确性。
拉氏中值定理是微分学中最基本的一个定理，有广泛的应用。我们对它特别给出如下重要注解。
1、当
时式子(1)仍然成立。
2、设
，
( 或 )，在区间
( ) 或 
( )上使用拉氏中值定理，我们有 
由于
可正可负，因此，无法确定是区间，还是区间，因此，我们只能讲“在 
与 
之间”。
如下图所示，可表示成为：
(2)
更一般地，在
或
上使用拉氏中值定理有：
(3)
3、
在开区间内的导数恒为零 
在内恒为常数。
【证明】
充分性(
)设
，显然 
。
必要性(
)
，
由拉氏中值定理有
由 ，得 
故在内的任意两点的函数值均相等，即
。
三、柯西中值定理
若函数、
满足下述三个条件：
(1)、、 在 连续；
(2)、、 在 可导；
(3)、
，
则至少存在一点 ， 使得
(4)
柯西中值定理的几何意义也十分明显，考虑由参数方程所表示的曲线
曲线上点 
处的切线斜率为 
弦的斜率为 
假定点对应于参数
，那未曲线点处切线平行于弦，
于是 
【证明】首先注意到
，这是由于
其中
，根据假定
，又
，所以
作辅助函数
显然，适合罗尔定理的条件：
；
在上连续；
在上可导， 且
根据罗尔定理，，，即
故 
对这三个中值定理，我们给出几点注解：
2、后两个中值定理的证法： 构造辅助函数，将之化归为罗尔定理的情形。这种考虑问题的方式，在数学与计算机编程上十分有用，称为“归一法”。
何为归一法呢? 下面的一段轶文可生动地说明其涵义。
人物：面试教师， 参试者甲(作家)， 参试者乙(数学家)。
面试教师：
烧一壶开水的方法可简述为：
(1)给壶装满水(2)将壶放到煤气灶上(3)煤气灶点火(4)待水沸腾，将壶拿下。
若已知第二步已完成，该如何进行才能烧壶开水了? 请二位分别回答。
作 家：
给煤气灶点火，待水烧开后，将壶拿下。
数学家：
将壶中水倒掉，把问题化归为情形(1)就行了。
归一法：
若问题A的结构与解决步骤清楚了，求解问题B时，只需设法化B为A即可。
四、中值定理运用举例
【例1】试证：
当
时， 有不等式 
。
【证明】考虑辅助函数 
由拉氏中值定理有
即 
而 
故 
【例2】对函数
、
在
上验证柯西中值定理的正确性。
【解】显然在上满足柯西中值定理的三个条件：
、
在
上连续,在
上可导,且
欲在上找到一点 使下式成立
即 
，
，
， 
只需取 
，显然 
这就验证了柯西中值定理的正确性。